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1、在函數(shù)的三要素中,對(duì)于如何求函數(shù)的值域,是學(xué)生感到頭痛的問題,它所涉及到的知識(shí)面廣,方法靈活多樣,在高考中經(jīng)常出現(xiàn),占有一定的地位,若方法運(yùn)用適當(dāng),就能起到簡(jiǎn)化運(yùn)算過程,避繁就簡(jiǎn),事半功倍的作用.本文就函數(shù)值域求法歸納如下.1,直接觀察法對(duì)于一些比較簡(jiǎn)單的函數(shù),其值域可通過觀察得到.例1 求函數(shù)y=3-的值域.解: 0 - 0 3- 3故函數(shù)的值域是:[-∞,3] 2,配方法配方法是求二次函數(shù)值域最基本的方法之一.例2,求函數(shù)y=-2x+5,x[-1,2]的值域.解:將函數(shù)配方得:y=(x-1)+4,x[-1,2],由二次函數(shù)的性質(zhì)可知:當(dāng)x=1時(shí),y =4當(dāng)x=-1,時(shí)=8故函數(shù)的值域是:[4,8] 3,判別式法例3 求函數(shù)y=的值域.解:原函數(shù)化為關(guān)x的一元二次方程(y-1)-x+(y-1)=0(1)當(dāng)y≠1時(shí),xR,△=(-1)-4(y-1)(y-1) 0解得:y(2)當(dāng)y=1,時(shí),x=0,而1[,]故函數(shù)的值域?yàn)閇,]例4求函數(shù)y=x+的值域. 解:兩邊平方整理得:2-2(y+1)x+y=0(1)xR,△=4(y+1)-8y0解得:1-y1+但此時(shí)的函數(shù)的定義域由x(2-x)0,得:0x2.由△0,僅保證關(guān)于x的方程:2-2(y+1)x+y=0在實(shí)數(shù)集R有實(shí)根,而不能確保其實(shí)根在區(qū)間[0,2]上,即不能確保方程(1)有實(shí)根,由△0求出的范圍可能比y的實(shí)際范圍大,故不能確定此函數(shù)的值域?yàn)閇,].可以采取如下方法進(jìn)一步確定原函數(shù)的值域.0x2,y=x+0,=0,y=1+代入方程(1),解得:=[0,2],即當(dāng)=時(shí),原函數(shù)的值域?yàn)?[0,1+].注:由判別式法來判斷函數(shù)的值域時(shí),若原函數(shù)的定義域不是實(shí)數(shù)集時(shí),應(yīng)綜合函數(shù)的定義域,將擴(kuò)大的部分剔除.4,反函數(shù)法直接求函數(shù)的值域困難時(shí),可以通過求其原函數(shù)的定義域來確定原函數(shù)的值域.例5 求函數(shù)y=值域.解:由原函數(shù)式可得:x=則其反函數(shù)為:y=其定義域?yàn)?x≠故所求函數(shù)的值域?yàn)?(-∞,)5,函數(shù)有界性法直接求函數(shù)的值域困難時(shí),可以利用已學(xué)過函數(shù)的有界性,反客為主來確定函數(shù)的值域.例6 求函數(shù)y=的值域.解:由原函數(shù)式可得:=>0,>0 解得:-1 7,換元法通過簡(jiǎn)單的換元把一個(gè)函數(shù)變?yōu)楹?jiǎn)單函數(shù),其題型特征是函數(shù)解析式含有根式或三角函數(shù)公式模型.換元法是數(shù)學(xué)方法中幾種最主要方法之一,在求函數(shù)的值域中同樣發(fā)揮作用.例9 求函數(shù)y=x+的值域.解:令x-1=t,(t0)則x=+1∵y=+t+1=+,又t0,由二次函數(shù)的性質(zhì)可知當(dāng)t=0時(shí),y=1,當(dāng)t→0時(shí),y→+∞.故函數(shù)的值域?yàn)閇1,+∞) 8 數(shù)形結(jié)合法其題型是函數(shù)解析式具有明顯的某種幾何意義,如兩點(diǎn)的距離公式直線斜率等等,這類題目若運(yùn)用數(shù)形結(jié)合法,往往會(huì)更加簡(jiǎn)單,一目了然,賞心悅目.例10 求函數(shù)y=+的值域.解:原函數(shù)可化簡(jiǎn)得:y=∣x-2∣+∣x+8∣ 上式可以看成數(shù)軸上點(diǎn)P(x)到定點(diǎn)A(2),B(-8)間的距離之和.由上圖可知:當(dāng)點(diǎn)P在線段AB上時(shí),y=∣x-2∣+∣x+8∣=∣AB∣=10當(dāng)點(diǎn)P在線段AB的延長(zhǎng)線或反向延長(zhǎng)線上時(shí),y=∣x-2∣+∣x+8∣>∣AB∣=10故所求函數(shù)的值域?yàn)?[10,+∞]例11 求函數(shù)y=+ 的值域解:原函數(shù)可變形為:y=+上式可看成x軸上的點(diǎn)P(x,0)到兩定點(diǎn)A(3,2),B(-2,-1)的距離之和,由圖可知當(dāng)點(diǎn)P為線段與x軸的交點(diǎn)時(shí), y=∣AB∣==,故所求函數(shù)的值域?yàn)閇,+∞].例12 求函數(shù)y=-的值域解:將函數(shù)變形為:y=-上式可看成定點(diǎn)A(3,2)到點(diǎn)P(x,0)的距離與定點(diǎn)B(-2,1)到點(diǎn)P(x,0)的距離之差.即:y=∣AP∣-∣BP∣由圖可知:(1)當(dāng)點(diǎn)P在x軸上且不是直線AB與x軸的交點(diǎn)時(shí),如點(diǎn)P ,則構(gòu)成△ABP ,根據(jù)三角形兩邊之差小于第三邊,有 ∣∣AP ∣-∣BP ∣∣<∣AB∣== 即:-(2)當(dāng)點(diǎn)P恰好為直線AB與x軸的交點(diǎn)時(shí), 有 ∣∣AP∣-∣BP∣∣=∣AB∣= .綜上所述,可知函數(shù)的值域?yàn)?(-,-). 注:由例11,例12可知,求兩距離之和時(shí),要將函數(shù)式變形,使A,B兩點(diǎn)在x軸的兩側(cè),而求兩距離之差時(shí),則要使兩點(diǎn)A,B在x軸的同側(cè).如:例17的A,B兩點(diǎn)坐標(biāo)分別為:(3,2),(-2,-1),在x軸的同側(cè);例18的A,B兩點(diǎn)坐標(biāo)分別為:(3,2),(2,-1),在x軸的同側(cè).總之,在具體求某個(gè)函數(shù)的值域時(shí),首先要仔細(xì),認(rèn)真觀察其題型特征,然后再選擇恰當(dāng)?shù)姆椒?一般優(yōu)先考慮直接法,函數(shù)單調(diào)性法然后才考慮用其他各種特殊方法.。

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